Finite Population Sampling without Replacement

Personal note of finite population sampling

First moment Population: $\Omega = \{ x_1, \dots, x_N \}$ Collection of $n$-samples: $\mathcal{S} = \{ s \in \Omega^n \mid \forall i,j \in s, i \ne j \}$ Collection of $n$-samples containing $x$: $\mathcal{S}_x = \{ s \in \mathcal{S} \mid x \in s \}$ Observe that $|\mathcal{S}_x| = \binom{N-1}{n-1}$. Let population mean be zero. $\mu = 0$, i.e. $\sum_{i = 1}^N x_i = 0$ [Read More]

Borel Cantelli Exercise 2019

I intend to post this for a Borel-Cantelli lemma exercise on Math.SE.

The target event is ${\exists i_0 \in \Bbb{N} : \forall i \ge i_0, X_i = 1}$, whose complement is

$${\forall i_0 \in \Bbb{N} : \exists i \ge i_0, X_i > = 0} = \limsup_i {X_i = 0}.$$

To apply Borel-Cantelli, one has to determine whether $\sum_i P(X_i = 0)<+\infty$.

Weak LLN Practice

My intended answer to a weak LLN problem on Math.SE. Problem: Suppose $(X_n)$ is a sequence of r.v’s satisfying $P(X_n=\pm\ln (n))=\frac{1}{2}$ for each $n=1,2\dots$. I am trying to show that $(X_n)$ satisfies the weak LLN. The idea is to show that $P(\overline{X_n}>\varepsilon)$ tends to 0, but I am unsure how to do so. My solution: As in the accepted answer in OP’s previous question https://math.stackexchange.com/q/3021650/290189, I’ll assume the independence of $(X_n)$. [Read More]

Mesurabilité des réalisations trajectorielles

$X: \omega \mapsto X(\cdot, \omega) \in \mathcal{M}((\Omega, \mathcal{A}), (\CO(\Bbb{T},\R), \Bor{\CO}))$

Notations Supposons toutes les notations dans Espace de trajectoires. Problématique La mesurabilité de l’application dans le sous-titre est basée sur l’égalité suivante. $$\Bor{\R}{\OXT} \cap \CO = \Bor{\CO}$$ J’ai passé quatres heures pour comprendre pourquoi ça entraîne la mesurabilité ? pourquoi l’égalité elle-même est vraie ? Réponses Mesurabilité de la trace sur $\CO$ de $\Bor{\R}{\OXT}$ A la première lecture, je ne connaisais même pas la définition de la trace d’une tribu sur un emsemble. [Read More]