Espace de trajectoires

Comparaison des références

Tribu produit

source symbole engendrée par
Prof $\Er{\OXT}$ $\mathcal{C}_0 = \Big\lbrace \lbrace f \in E^\Bbb{T} \mid f(t) \in B \rbrace \bigm\vert t \in \Bbb{T}, B \in \Er \Big\rbrace$
$\mathcal{C}_1 = \Big\lbrace \lbrace f \in E^\Bbb{T} \mid f(t_i) \in B_i \forall i \in \lbrace 1,\dots,n \rbrace \rbrace \newline \bigm\vert t_j \in \Bbb{T}, B_j \in \Er \forall j \in \lbrace 1,\dots,n \rbrace, n \in \N^* \Big\rbrace$
Meyre $\bigotimes_{t \in \Bbb{T}} \Er$ des cylindres $C = \prod_{t \in \Bbb{T}} A_t$
d’ensembles mesurables $A_t \in \Er$
de dimension finie $\card{\lbrace t \in \Bbb{T} \mid A_t \neq E \rbrace} < \infty$

Je trouve $\Er{\OXT}$ plus court à écrire, tandis que $\bigotimes_{t \in \Bbb{T}} \Er$ est plus flexible.

J’ai cassé la tête sur l’ensemble qui engendre la tribu produit pedant des heures. Ce n’est pas facile à voir des « cylindres mesurables de dimension finie » dans $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_1$ non plus !

La définition dans Meyre m'a rappelé celle de la topologie produit. Alors, c'est plus agréable à comprendre. A mon niveau, ce n'est pas évident à voir que $$\Big\{\{f \in E^\Bbb{T} \mid f(t_i) \in B_i, i \in \{1,\dots,n\}\} \bigm| t_j \in \Bbb{T}, B_j \in \Er \forall j \in \{1,\dots,n\}\Big\}$$ représente des cylindres sans le livre de Meyre.

Processus

source Prof Meyre
symbole $X: (\Omega, \mathcal{A}) \to (E^\Bbb{T}, \Er{\OXT})$ $X: ((\Omega, \mathcal{A}), \Bbb{T}) \to E$
position aléatoire $X_{t_0}$ variable aléatoire
$X_{t_0}: \omega \mapsto X_{t_0}(\omega)$
$X(\cdot, t_0)$
une realisation de
trajectoire dans $E^\Bbb{T}$
function $t \mapsto X_t(\omega_0)$ $X(\omega_0,\cdot)$
remarque plus facile à comprendre
au début
plus facile à comprendre
la tribu produit $\Er{\OXT}$

Comme on veut bâtir des probabilités sur des trajectoires, il faut une tribu sur l’ensemble des trajectoires.

objets orthographe symbole explications
une instance/realisation
de trajectoire
miniscule $\lbrace X_t(\omega) \rbrace_t$ des états $X_t(\omega) \in E$
indexés par $t \in \Bbb{T}$
l’ensemble de trajectoires majuscule $E^\Bbb{T}$ l’ensemble des fonctions
de $\Bbb{T}$ dans $E$

Lien entre les deux références

$$f \in \left( E^\Bbb{T} \right)^\Omega \xrightarrow[\text{la définition de Meyre}]{\text{retrouve}} E^{\Bbb{T} \times \Omega}$$

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