Mesurabilité des réalisations trajectorielles

$X: \omega \mapsto X(\cdot, \omega) \in \mathcal{M}((\Omega, \mathcal{A}), (\CO(\Bbb{T},\R), \Bor{\CO}))$

Notations

Supposons toutes les notations dans Espace de trajectoires.

Problématique

La mesurabilité de l’application dans le sous-titre est basée sur l’égalité suivante. $$\Bor{\R}{\OXT} \cap \CO = \Bor{\CO}$$

J’ai passé quatres heures pour comprendre

  • pourquoi ça entraîne la mesurabilité ?
  • pourquoi l’égalité elle-même est vraie ?

Réponses

Mesurabilité de la trace sur $\CO$ de $\Bor{\R}{\OXT}$

A la première lecture, je ne connaisais même pas la définition de la trace d’une tribu sur un emsemble. En effet, c’est une définition universaire sur des ensembles, selon une question sur la trace sur Math.SE.

J’ai médité la structure de $\Bor{\R}{\OXT}$ afin de comprendre la mesurabilité de l’application « $\mapsto$ ». En fait, c’est due à la définition d’une fonction aléatoire réelle continue.

fonction aléatoire réelle continue
une fonction aléatoire réelle $X : (t, \omega) \mapsto X(t, \omega) \in \R$ telle que « tous les trajectoires sont continues (par rapport à $t$) ».

Plus précisément, la réponse est cachée dans le mot « aléatoire », ce qui permet à l’image réciproque $X^{-1}[B]$ d’un borélien $B \in \Bor{\R}$ d’entréer dans $\mathcal{A}$. Les élements dans $\Bor{\R}{\OXT}$ est juste des ensembles engendrés par des « produits directs/cylindres de dimensions finies ». Comme chauqe borélien composant (indexé par $t \in \Bbb{T}$, appartenant à $\Bor{\R}$) entre facilement dans $\mathcal{A}$, on voit que le membre à gauche dans l’égalité au-dessus entraîne la mesurabilité de l’application « $\mapsto$ ».

Vérité de l’égalité

Inclusion directe

La démonstration commence par

« pour tout $t$, l’application coordonnée $x\mapsto x(t)$ … est continue … »

Je ne pouvais pas comprendre son raisonnement : pourquoi commencer par une application coordonnée ? Alors, la suite de cette partie ne me paraît compréhensible.

J’ai cherché le polycopié par Ron Peled, mais je n’ai pas pu en sortir une indication. Mon prof m’a dit d’imaginer une fonction $x \in \CO$ comme un vecteur indexé par l’instant $t \in \Bbb{T}$. Néanmoins, j’y avais du mal car selon la définition de l’application « $\mapsto$ », c’est la trajectoire continue $x$ qui bouge, alors que l’instant $t$ est fixé.

Après avoir passé une heure de méditation sur les cylindres ouverts de dimensions finies, je me suis rappelé des projections dans un espace produit muni de la topologie produit, grâce à ma lecture de la preuve du théorème de Tychonov par Nicolas Bourbaki présentée dans le 2e chap. du livre d’analyse réelle et de proba de Dudley.

$$ \begin{aligned} \left(\prod_{i \in I} X_i,\mathcal{T}\right) & \xrightarrow{\text{projection } \pi_i} (X_i,\mathcal{T}_i) \\ x & \xmapsto{\pi_{i_1}} x(i_1) \\ x & \xmapsto{\pi_{i_2}} x(i_2) \end{aligned} $$

La topologie produit $\mathcal{T}$ est la plus petite topologie rendant toutes les projections $(\pi_i)_{i \in I}$ continues. Autrement dit, on fixe les projections $(\pi_i)_{i \in I}$ et les topologies $(\mathcal{T}_i)_{i \in I}$ dans les espaces composants $(X_i, \mathcal{T}_i)_{i \in I}$. Construisons une prébase topologique sur l’espace produit $\prod_I X$ par l’image réciproque des ouverts dans $X_i$ par $\pi_i$ pour $i \in I$. Cette prébase engendre $\mathcal{T}$. S’il existe une topologie $\mathcal{T}^\prime$ sur $\prod_I X$ telle que pour tout $i \in I$, la projection $\pi_i: \left( \prod_I X, \mathcal{T}^\prime \right) \to (X_i, \mathcal{T}_i)$ est continue, on aura $\mathcal{T} \subseteq \mathcal{T}^\prime$.

Quitte à remplacer

  • $i \in I$ par $t \in \Bbb{T}$
  • « ouverts » par « boréliens »
  • $(\prod_{i \in I} X_i, \mathcal{T}^\prime)$ par $(\CO, \Bor{\CO})$
  • $(X_i, \mathcal{T}_i)$ par $(\R, \Bor{\R})$

on aura l’inclusion souhaitée car $\Bor{\R}{\OXT}$ joue un rôle similaire à $\mathcal{T}$ au paragraphe précédent.

Inclusion réciproque

J’ai mal interprêté « les boules » dans cette partie car les auteurs ne précisent pas où elles demeurent. Mon prof m’a dit qu’ils avaient préféré les boules fermées $B(y, \epsilon) \in \Bor{\CO}$ puisque la limite d’une suite dans une boule fermée ne sortait pas de la boule.

Puis, ils ont décomposé la boule fermée en l’intersection dénombrable de cyclindres ouverts unidimensionels dans $\Bor{\R}{\OXT}$.

$$ \begin{aligned} B(y, \epsilon) &= \bigcap_{t\in\Bbb{T}} \{ x \in \CO \bigm\vert |x(t)-y(t)| \le \epsilon \} \\ &= \bigcap_{n>0} \bigcap_{t \in \Bbb{T} \cap \Q} \left\{ x \in \CO \biggm\vert |x(t)-y(t)| < \epsilon + \frac1n \right\} \end{aligned} $$

La dernière transition est justifiée par la densité de $\Q$ dans $\R$. Pour trouver des cylindres qui engendrent $\Bor{\R}{\OXT}$, décrivons l’ensemble derrière les signes $\bigcap$ au dernier membre en mots : pour une trajectoire continu $y \in \CO$ et un instant $t \in \Bbb{T}$, cet ensemble désigne tous les trajectoires continues $x \in \CO$ qui est proche à $\epsilon + 1/n$ près de $y$ à l’instant $t$. On ne regarde $x$ qu’à l’instant $t$, et on le traite encore comme un vector indexé par $t^\prime \in \Bbb{T}$. (Dans ce paragraphe, $t$ est fixé, donc je mets un trait pour désigner $t^\prime$ qui bouge dans $\Bbb{T}$.) Ce dernier ensemble s’écrit comme

$$ \left\{ x \in \CO \biggm\vert \pi_t^{-1}\left(\left[ y(t)-\epsilon-\frac1n, y(t)+\epsilon+\frac1n \right]\right) \right\} = \prod_{t^\prime \in \Bbb{T}} A_{t^\prime}, $$

où $\pi_t : \CO \to \R$ désigne la projection canonique comme dans la partie, et

$$ A_{t^\prime} = \begin{cases} \left[ y(t)-\epsilon-\frac1n, y(t)+\epsilon+\frac1n \right] &\quad \text{if } t^\prime = t \\ \R &\quad \text{otherwise} \end{cases} $$

Référence

  1. Le livre de calcul stochastique par Comets et Meyre
  2. Le polycopié sur la tribu pour des mouvements browniens par Ron Peled

La projection canonique d’un espace produit $\prod_{i \in I} X_i$ vers un espace composant $X_i$ n’est forcément pas mesurable, selon la question sur Math.SE de Ethan.


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