La norme lipschitzienne est complète

Dans l’article de Robert Fortet et Edith Mourier en 1953, une distance entre deux mesures de probabilité sur un espace métrique est définie.

De nos jours, je trouve la façon dont ils l’ont écrit assez difficile à comprendre. Je suis plus à l’aise avec $\sup$ que “b.s.” que désigne “borne supérieure”. Ils se sont servi de $M[f]$ pour $\lVert f \rVert_{\rm Lip}$, où

$$\lVert f \rVert_{\rm Lip} = \sup_{x \ne y} \frac{|f(x) - f(y)|}{d(x, y)}.$$

Je me suis demandé la raison pour laquelle cette dernière application positive était une semi-norme au lieu d’une vraie norme. En effet, ils l’ont traitée comme une vraie norme en identifiant deux applications différant d’une constante comme identiques.

Cette identification joue un rôle important dans la preuve de la complétude de la norme lipschitzienne. On peut supposer, sans perte de généralité, qu’il existe un point $x_0 \in S$ ($\mathscr{X}$ dans l’article) tel que $f_n(x_0)$ est nul pour tout $n \in \N$.

C'est classique qu'on commence par une suite $(f_n)$ de Cauchy dont on établit une limite simple $f_\infty$. Le paragraphe dernier permet l'égalité suivante.

$$ \begin{aligned} |f_{n+k}(x)-f_n(x)| &= |(f_{n+k}(x)-f_n(x))-(f_{n+k}(x_0)-f_n(x_0))| \\ &\le \lVert f_{n+k} - f_n \rVert_{\rm Lip} \; d(x,x_0) \end{aligned} $$

En faisant $n \to \infty$, et on a $f_n \to f_\infty$.

Soit $\epsilon > 0$. Il existe $N \in \N$ tel que $\forall n \ge N, \forall k \in \N$, $\lVert f_{n+k} - f_n \rVert_{\rm Lip} < \epsilon$.

$$ \forall n \ge N, \forall k \in \N, \forall x \ne y, \frac{|(f_{n+k}(x)-f_n(x)) - (f_{n+k}(y)-f_n(y))|}{d(x, y)} < \epsilon $$

Faisons $k \to \infty$.

$$ \forall n \ge N, \forall x \ne y, \frac{|(f_\infty(x)-f_n(x)) - (f_\infty(y)-f_n(y))|}{d(x, y)} \le \epsilon $$

Donc $\forall n \ge N, \lVert f_\infty-f_n \rVert_{\rm Lip} \le \epsilon$, ce qui achève la preuve.


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