The Math.SE question $2\cos(2x) - 2\sin(x) = 0$ has attracted several answers from high-rep users.

I am expanding @rhombic’s comment into an answer.

$$ \begin{aligned} 2\cos(2x)-2\sin(x)&=0 \\ 2 - 4\sin^2(x)-2\sin(x)&=0 \\ 2\sin^2(x)+\sin(x) - 1&=0 \\ (2 \sin(x) - 1)(\sin(x) +1) &= 0 \\ \sin(x) = \frac12 \text{ or } \sin(x) &= -1 \\ x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \text{ (rejected) or } & \frac{3\pi}{2} \text{ (rejected)} \end{aligned} $$

Update: The question has been reopened.

I intended to answer 김종현’s problem on Math.SE. However, the programs in the question body aren’t typeset in MathJax. As a result, I downvoted and closed this question because found it unclear. From the proposed dual, it seems that I shouldn’t interpret the primal as a linear program. Anyways, without further clarifications from OP, I found no reason to look at this further. Here’s my intended answer:

First moment

Population: $ \Omega = \{ x_1, \dots, x_N \} $
Collection of $n$-samples: $\mathcal{S} = \{ s \in \Omega^n \mid \forall i,j \in s, i \ne j \} $
Collection of $n$-samples containing $x$: $ \mathcal{S}_x = \{ s \in \mathcal{S} \mid x \in s \} $
Observe that $ |\mathcal{S}_x| = \binom{N-1}{n-1} $.
Let population mean be zero. $\mu = 0$, i.e. $ \sum_{i = 1}^N x_i = 0 $
Fix an order for $\mathcal{S}$: $ \mathcal{S} = \{ s_1, s_2, \dots, s_{|\mathcal{S}|} \} $.
$j$-th $n$-sample mean $ m_j = \frac1n \sum_{x \in \mathcal{S}_j} x $
Remark: I don’t use $ \sum s_j $ as in $ \cup \mathcal{T} $ in topology to avoid misreading the $n$-sample $ s_j $ as an element.
mean of $n$-sample mean $ m = \frac{1}{|\mathcal{S}|} \sum_{s_j \in \mathcal{S}} m_j $

Pour simuler les trajectoires d’une équation différentielle, le schéma le plus facile est l’un découvert par Euler.

Cependant, en espérant mettre ce que j’ai vu au cours de ma licence en pratique, j’ai cherché un peu sur des méthodes numériques pour les EDS sur Google, et je suis tombé sur un article écrit par Brian D. Ewald.

Les différences entre les schémas « forts » et « faibles » seraient-ils pertinents pour mon stage ? On va voir.

I intend to post this for a Borel-Cantelli lemma exercise on Math.SE.

The target event is ${\exists i_0 \in \Bbb{N} : \forall i \ge i_0, X_i = 1}$, whose complement is

$$ {\forall i_0 \in \Bbb{N} : \exists i \ge i_0, X_i > = 0} = \limsup_i {X_i = 0}. $$

To apply Borel-Cantelli, one has to determine whether $\sum_i P(X_i = 0)<+\infty$.

My intended answer to a weak LLN problem on Math.SE.

Problem: Suppose $(X_n)$ is a sequence of r.v’s satisfying $P(X_n=\pm\ln (n))=\frac{1}{2}$ for each $n=1,2\dots$. I am trying to show that $(X_n)$ satisfies the weak LLN.

The idea is to show that $P(\overline{X_n}>\varepsilon)$ tends to 0, but I am unsure how to do so.

My solution: As in the accepted answer in OP’s previous question https://math.stackexchange.com/q/3021650/290189, I’ll assume the independence of $(X_n)$. By Chebylshev’s inequality,

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I intended to answer Maddle’s $p$-test question, but T. Bongers has beaten me by two minutes, so I posted my answer here to save my work.

The problem statement

This is the sum: $$\sum\limits_{n=3}^\infty\frac{1}{n\cdot\ln(n)\cdot\ln(\ln(n))^p}$$ How do I tell which values of $p$ allow this to converge? The ratio test isn’t working out for me at all.

Unpublished solution

The integral test will do.

When $p \ge 1$, the improper integral diverges. When $p < 1$, it converges.

Oriented affine $k$-simplex $\sigma = [{\bf p}_0,{\bf p}_1,\dots,{\bf p}_k]$

A $k$-surface given by the affine function

$$ \sigma\left(\sum_{i=1}^k a_i {\bf e}_i \right) := {\bf p}_0 + \sum_{i=1}^k a_i ({\bf p}_i - {\bf p}_0) \tag{1}, $$

where ${\bf p}_i \in \R^n$ for all $i \in \{1,\dots,k\}$.
In particular, $\sigma({\bf 0})={\bf p}_0$ and for each $i\in\{1,\dots,k\}$, $\sigma({\bf e}_i)={\bf p}_i$.

Standard simplex $Q^k := [{\bf 0}, {\bf e}_1, \dots, {\bf e}_k]$

A particular type of oriented affine $k$-simplex with the standard basis $\{{\bf e}_1, \dots, {\bf e}_k\}$ of $\R^k$.

$$ Q^k := \left\{ \sum_{i=1}^k a_i {\bf e}_i \Biggm| \forall i \in \{1,\dots,k\}, a_i \ge 0, \sum_{i=1}^k a_i = 1 \right\} $$

Note that an oriented affine $k$-simplex $\sigma$ has parameter domain $Q^k$.

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Dans l’article de Robert Fortet et Edith Mourier en 1953, une distance entre deux mesures de probabilité sur un espace métrique est définie.

De nos jours, je trouve la façon dont ils l’ont écrit assez difficile à comprendre. Je suis plus à l’aise avec $\sup$ que “b.s.” que désigne “borne supérieure”. Ils se sont servi de $M[f]$ pour $\lVert f \rVert_{\rm Lip}$, où

$$ \lVert f \rVert_{\rm Lip} = \sup_{x \ne y} \frac{|f(x) - f(y)|}{d(x, y)}. $$

Notations

Supposons toutes les notations dans Espace de trajectoires.

Problématique

La mesurabilité de l’application dans le sous-titre est basée sur l’égalité suivante.

J’ai passé quatres heures pour comprendre

• pourquoi ça entraîne la mesurabilité ?
• pourquoi l’égalité elle-même est vraie ?

Réponses

Mesurabilité de la trace sur $\CO$ de $\Bor{\R}{\OXT}$

A la première lecture, je ne connaisais même pas la définition de la trace d’une tribu sur un emsemble. En effet, c’est une définition universaire sur des ensembles, selon une question sur la trace sur Math.SE.